a) Vẽ hình:

\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (4,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (0,3);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (2,0);
\coordinate[label=above:$F$] (F) at (0,4);
\coordinate[label=above right:$D$] (D) at (1.5,1.5);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (E);
\draw (B) -- (F);
\draw (A) -- (D);
\draw (D) -- (C);

\end{tikzpicture}
\]

b) Ta có BE = BA và BF = BC, suy ra tam giác BAE và tam giác BCF đều vuông cân tại B. Do đó, ta có:

\[
\angle ABE = \angle BAE = \angle BCF = \angle FCB
\]

Vậy tam giác ABE và tam giác CBF đồng dạng, từ đó ta có:

\[
\frac{AE}{CF} = \frac{AB}{BC} = \frac{BE}{BF} = \frac{BA}{BC} = \frac{AB}{BC}
\]

Do đó, tam giác ABE và tam giác CBF đồng dạng. Tương tự, ta có tam giác ABD và tam giác DBC đồng dạng.

Vậy ta có:

\[
\angle ADB = \angle DCB
\]

Do đó, tam giác ADB và tam giác DCB cân tại D.

c) Ta có tam giác ADB và tam giác DCB cân tại D, suy ra AD = DB và CD = DB. Từ đó, ta có:

\[
AD < AC = CD
\]

d) Ta có:

\[
\angle ADF = \angle CDE \quad (\text{cùng là góc phân giác})
\]

\[
\angle DAF = \angle DCE \quad (\text{cùng là góc phân giác})
\]

\[
\angle AFD = \angle EDC \quad (\text{cùng là góc phân giác})
\]

Vậy tam giác ADF và tam giác EDC đồng dạng theo góc.