Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( C \) là trung điểm của cung \( MN \), \( I \) là giao điểm của \( QI \) và \( MN \), \( A \) là giao điểm của \( PQ \) và đường tròn, \( B \) là giao điểm của \( MN \) và đường tròn. Ta có:

- Vì \( Q \) là trung điểm của cung \( MN \), nên \( QC \perp MN \) và \( QC \) đi qua tâm \( O \) của đường tròn.

- Do đó, \( QI \) là đường kính của đường tròn nội tiếp \( MNAB \), nên \( QI \) vuông góc với \( MN \) tại \( I \).

- Từ tính chất của tam giác vuông, ta có \( QI^2 = QM^2 + IM^2 \) và \( QI^2 = QN^2 + IN^2 \).

 - Vì \( QM = QN \) (do \( Q \) là trung điểm của cung \( MN \)), nên ta có \( IM^2 = IN^2 \). - Kết hợp với \( QI \) vuông góc với \( MN \) tại \( I \), ta suy ra \( IM = IN \).

-Vậy, tam giác \( IMN \) là tam giác cân tại \( I \), nên \( IM = IN = IC \).

- Do đó, \( IC \) chính là bán kính của đường tròn nội tiếp \( MNAB \), nên \( IC = OA \).

- Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IC = OA \).