Cho hình thang ABCD có AB // CD, góc A = góc D = 90° và CD = 2AB = 6 cm. Gọi H là hình chiếu của D trên AC và MN lần lượt là trung điểm của HC, HD

Giải:

a, Tính độ dài đoạn MN:

Ta có AB // CD nên tam giác ABC và ADC đồng dạng. Khi đó, ta có:

\[\frac{MN}{HC} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN = \frac{1}{2} \times HC\]

Do đó, ta cần tính độ dài HC. Ta có:

Trong tam giác ADC vuông tại D, ta có:

\[HC = CD \times \sin \angle ACD = 6 \times \sin 45^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} cm\]

Vậy \(MN = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} cm\).

b, Chứng minh M là trực tâm của tam giác ADM:

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng AM = MD.

Trong tam giác ADC, ta có:

\[AM = AC - CM = AC - \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3 cm\]

Do đó, ta có AM = MD. Vậy M là trực tâm của tam giác ADM.