a) Ta có: $\angle EAB = 90^\circ$ (vì $ME \perp AB$) và $\angle FAM = 90^\circ$ (vì $MF \perp AC$). Do đó, $A, E, M, O, F$ đều thuộc một đường tròn.

Gọi $N$ là giao điểm của $ME$ và $AC$. Ta có $\triangle MEB \sim \triangle MNA$ (do góc), suy ra $\frac{BE}{BM} = \frac{AN}{AM}$. Tương tự, ta có $\frac{AF}{AM} = \frac{CF}{CM}$.

Do đó, $BE \cdot BA = BM \cdot AN = BM \cdot (AM - MN) = BM \cdot AM - BM \cdot MN = BO \cdot BM - BM \cdot MN = BO \cdot BM$.

b) Ta có $\angle KMF = \angle KAF = 90^\circ$, suy ra $ME = KF$.

Gọi $D$ là giao điểm của $NM$ và $(O)$. Ta có $\angle AMD = \angle AHD = 90^\circ$ và $\angle AEM = \angle AFM = 90^\circ$, suy ra $AMHD$ và $AFEM$ là các hình chữ nhật. Do đó, $AM = HD$ và $AF = EM$.

c) Ta có $\angle MNE = 90^\circ$ (do $ME \perp AB$ và $MN \perp EF$), suy ra $MN$ luôn đi qua trung điểm của $EF$, điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $BC$.