Để chứng minh rằng p^2 + 2 cũng là số nguyên tố, ta sẽ sử dụng phản chứng.

Giả sử p^2 + 2 không phải là số nguyên tố, tức là p^2 + 2 có thể chia hết cho một số nguyên dương khác 1 và chính nó.

Do đó, p^2 + 2 = kp với k là một số nguyên dương và k ≠ 1, p.

Ta có p^2 = kp - 2.

p^2 = kp - 2 là một phương trình tuyến tính, với p là số nguyên tố. Điều này có nghĩa là p^2 chia hết cho k, và do đó p cũng chia hết cho k.

Nhưng vì p là số nguyên tố, nên p chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Điều này mâu thuẫn với giả thiết k ≠ 1, p.

Vì vậy, giả sử ban đầu là sai và p^2 + 2 cũng là số nguyên tố.