a) Ta có:
\(\widehat{OCQ} = 90^\circ\) (do \(CQ\) vuông góc với \(OC\))
\(\widehat{OAM} = \widehat{OAN} = 90^\circ\) (do \(AM, AN\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn)
\(\widehat{OBN} = \widehat{OBM} = 90^\circ\) (do \(BM, BN\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn)

Do đó, tứ giác \(OACQ, OAMC, OBNM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
\(\widehat{AMN} = \widehat{ACQ}\) (cùng chắn cung \(AC\))
\(\widehat{ANM} = \widehat{ABQ}\) (cùng chắn cung \(AB\))

Do đó, tứ giác \(AMNQ\) là tứ giác nội tiếp.

Vậy, ta suy ra \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\).

c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\).

Ta có:
\(\widehat{OCH} = 90^\circ\) (do \(CH\) vuông góc với \(OC\))
\(\widehat{OAH} = \widehat{OBH} = 90^\circ\) (do \(AH, BH\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn)

Do đó, tứ giác \(OACH, OABH\) là tứ giác nội tiếp.

Khi đó, ta có:
\(S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACH} + S_{\triangle BAH} - S_{\triangle OABH}\)
\(= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CH + \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH - \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AH\)
\(= \frac{1}{2} \cdot R \cdot R + \frac{1}{2} \cdot R \cdot R - \frac{1}{2} \cdot R \cdot R\)
\(= R^2\)

Vậy, diện tích tam giác \(ABC\) là \(R^2\).