Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O). Kẻ cát tuyến AEF của (O) (E nằm giữa A và F; AF nằm giữa AB và AO):

a) Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc AOB là góc vuông. Do đó, tư giác ABOC là tư giác nội tiếp.
Xét tam giác AEF vuông tại E, ta có:
\[AB^2 = AE \cdot AF\] (định lí tiếp tuyến)
Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Ta có:
\[\angle AHB = \angle AOB = 90^\circ\]
Xét tam giác AEF vuông tại E, ta có:
\[\angle EHA = \angle HAF = \angle OFA = \angle OHA\]
Do đó, ta có:
\[AH \cdot AO = AE \cdot AF\]
Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.
Tiếp theo, ta có:
\[\angle EHA = \angle OHA = \angle OHF\]
Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.

c) Ta có EF // BF, nên theo định lí chia tỉ lệ, ta có:
\[\frac{MC}{HF} = \frac{AK}{KF} = 2\]
Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.