Ta có:
- Vì MA và MB lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên OA ⊥ MA và OB ⊥ MB.
- Do đó, tam giác OMA và OMB vuông tại M.
- Ta có: OA = OB (bán kính đường tròn) và OM chung nên tam giác OMA ≅ OMB (cạnh - góc - cạnh).
- Vậy, ∠OMA = ∠OMB.
- MCD không đi qua tâm O nên ∠OMC ≠ ∠OMD.
- Vì I là trung điểm của CD nên CI = DI.
- Ta có: ∠CMI = ∠DMI (cùng bằng 90° - ∠OMC và ∠OMD).
- Vậy, tam giác CMI ≅ DMI (cạnh - góc - cạnh).
- Do đó, CM = DM và CI = DI.
- Vậy, tam giác CIM ≅ DIM (cạnh - cạnh - cạnh).
- Từ đó, CN = DN.
- Vì CN // MA nên theo định lí chia tỉ lệ ta có: AN/NB = CM/MD = 1/1.
- Vậy, N là trung điểm của AB.