Cho (O;R) và P cố định khác O ( OP < R). Hai dây AB và CD thay đổi sao cho AB vuông góc với CD tại P. Từ P kẻ PM vuông góc với BD tại M, kẻ PN vuông góc với BC tại N. Tia NP cắt AD tại F

a) Ta có:
\(\widehat{BPM} = \widehat{BPD} = 90^\circ\) (do AB vuông góc với CD tại P)
\(\widehat{BNP} = \widehat{BCP} = 90^\circ\) (do CD vuông góc với AB tại P)

Vậy tứ giác BMPN nội tiếp.

b) Ta có:
\(\widehat{OFD} = \widehat{OPD} = 90^\circ\) (do OF vuông góc với PD)
\(\widehat{FOD} = \widehat{FPD} = 90^\circ\) (do OF vuông góc với PD)

Vậy OF vuông góc với AD.

c) Gọi E là trung điểm của AC, ta có:
\(\frac{BD}{2} = \frac{BC}{2} = \frac{AC}{2} = EO\)

Vậy BD = 2EO.