Để phân số 3n+2/7n+1 được rút gọn, ta cần tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số.

3n+2 và 7n+1 không có ước chung nào ngoài 1, vì vậy ta chỉ cần kiểm tra các số tự nhiên n trong khoảng từ 100 đến 150 để tìm ra số nào thỏa mãn điều kiện đó.

Ta thử lần lượt các số từ 100 đến 150:

- Với n = 100: 3*100+2 = 302, 7*100+1 = 701, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 101: 3*101+2 = 305, 7*101+1 = 708, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 102: 3*102+2 = 308, 7*102+1 = 715, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 103: 3*103+2 = 311, 7*103+1 = 722, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 104: 3*104+2 = 314, 7*104+1 = 729, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 105: 3*105+2 = 317, 7*105+1 = 736, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 106: 3*106+2 = 320, 7*106+1 = 743, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 107: 3*107+2 = 323, 7*107+1 = 750, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 108: 3*108+2 = 326, 7*108+1 = 757, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 109: 3*109+2 = 329, 7*109+1 = 764, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 110: 3*110+2 = 332, 7*110+1 = 771, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 111: 3*111+2 = 335, 7*111+1 = 778, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 112: 3*112+2 = 338, 7*112+1 = 785, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 113: 3*113+2 = 341, 7*113+1 = 792, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 114: 3*114+2 = 344, 7*114+1 = 799, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 115: 3*115+2 = 347, 7*115+1 = 806, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 116: 3*116+2 = 350, 7*116+1 = 813, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 117: 3*117+2 = 353, 7*117+1 = 820, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 118: 3*118+2 = 356, 7*118+1 = 827, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 119: 3*119+2 = 359, 7*119+1 = 834, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 120: 3*120+2 = 362, 7*120+1 = 841, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 121: 3*121+2 = 365, 7*121+1 = 848, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 122: 3*122+2 = 368, 7*122+1 = 855, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 123: 3*123+2 = 371, 7*123+1 = 862, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 124: 3*124+2 = 374, 7*124+1 = 869, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 125: 3*125+2 = 377, 7*125+1 = 876, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 126: 3*126+2 = 380, 7*126+1 = 883, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 127: 3*127+2 = 383, 7*127+1 = 890, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 128: 3*128+2 = 386, 7*128+1 = 897, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 129: 3*129+2 = 389, 7*129+1 = 904, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 130: 3*130+2 = 392, 7*130+1 = 911, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 131: 3*131+2 = 395, 7*131+1 = 918, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 132: 3*132+2 = 398, 7*132+1 = 925, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 133: 3*133+2 = 401, 7*133+1 = 932, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 134: 3*134+2 = 404, 7*134+1 = 939, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 135: 3*135+2 = 407, 7*135+1 = 946, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 136: 3*136+2 = 410, 7*136+1 = 953, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 137: 3*137+2 = 413, 7*137+1 = 960, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 138: 3*138+2 = 416, 7*138+1 = 967, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 139: 3*139+2 = 419, 7*139+1 = 974, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 140: 3*140+2 = 422, 7*140+1 = 981, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 141: 3*141+2 = 425, 7*141+1 = 988, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 142: 3*142+2 = 428, 7*142+1 = 995, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 143: 3*143+2 = 431, 7*143+1 = 1002, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 144: 3*144+2 = 434, 7*144+1 = 1009, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 145: 3*145+2 = 437, 7*145+1 = 1016, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 146: 3*146+2 = 440, 7*146+1 = 1023, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 147: 3*147+2 = 443, 7*147+1 = 1030, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 148: 3*148+2 = 446, 7*148+1 = 1037, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 149: 3*149+2 = 449, 7*149+1 = 1044, phân số không thể rút gọn.
- Với n = 150: 3*150+2 = 452, 7*150+1 = 1051, phân số không thể rút gọn.

Vậy không có số tự nhiên n trong khoảng từ 100 đến 150 để phân số 3n+2/7n+1 được rút gọn.