Cho đường tròn (O;R) có dây BC cố định không đi qua tâm O; điểm A di chuyển trên cung lớn BC

Để chứng minh các điều cần CM, ta có:

1) Ta có BE vuông góc AC và CF vuông góc AB (do là hình chiếu của B và C trên AC và AB).
Khi đó, ta có BE và CF là đường cao của tam giác ABC, nên chúng cắt nhau tại hình chiếu của H của tam giác ABC.
Vậy B, F, E, C cùng thuộc 1 đường tròn.

2) Ta có tam giác ABE và tam giác AFC đồng dạng (cùng có góc B và góc C).
Do đó, ta có: AE/AF = AB/AC (do đồng dạng)
⇒ AE.AC = AF.AB

3)
a) Ta có AK là đường kính của đường tròn (O), nên tam giác AOK vuông tại O.
Khi đó, ta có: ∠OKE = 90° ⇒ AEK = 90°
⇒ AEK là tam giác vuông tại E.
Vậy, ta có AE cũng là đường cao của tam giác ABC, nên AE cắt BC tại H.
Do đó, ta có BHCK là hbh.

b) Ta có tam giác AEK và tam giác AFC đồng dạng (cùng có góc A và góc C).
Vậy, khi A di chuyển trên cung lớn BC, tam giác AEK và tam giác AFC vẫn đồng dạng, nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK không đổi.

Hy vọng câu trả lời giúp ích cho bạn! Nếu cần thêm giải thích hoặc hình vẽ, bạn có thể yêu cầu.