Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là tia phân giác của góc B (D thuộc AC ) kẻ DE vuông góc với BC

Ta có:
- Góc BAC = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A)
- BD là tia phân giác của góc B
- BH vuông góc với BD và BH = AE
- O là trung điểm của BE

Vì O là trung điểm của BE nên OB = OE và góc OBE = góc OEB = 90 độ (do O là trung điểm của BE)

Ta có góc BHE = góc BHD + góc DHE = góc BHD + góc BEC = góc BHD + góc BAC (do BE // AC) = góc BHD + 90 độ

Vì BH = AE nên góc BHD = góc AEB = góc BAC

Vậy góc BHE = góc BAC + 90 độ = 180 độ (do góc BAC = 90 độ) => HE vuông góc với AC

Ta có góc BHD = góc AEB = góc BAC = góc BHE => BHE = BHD

Vậy ta có tam giác BHE cân tại B => BH = HE

Vì BH = HE và BH // AE nên tam giác BHA đồng dạng với tam giác EHA

Do đó, góc AHB = góc AHE = góc EAH = góc EAB = góc BAC

Vậy 3 điểm A, O, H thẳng hàng.

Xét tam giác ADE và tam giác BEC:
- AD // BE (do AD và BE đều vuông góc với BC)
- AE = BH (đều bằng BH)
- Góc AED = góc BEC (cùng bằng 90 độ)

Vậy tam giác ADE đồng dạng với tam giác BEC => AD/EC = AE/EB = BH/BE < BH/BE = 1 => AD < EC

Vậy ta đã chứng minh được cả 2 điều cần chứng minh.