Cho tam giác ABC nhọn đường cao AD và phân giác BE cắt nhau tại H kẻ AK vuông góc với BE . Gọi M là giao điểm của AK và BC

Giải:

a) Ta có:

• Tam giác DBH và tam giác BKA có một góc B chung (do BH là phân giác của góc ABC và BK là phân giác của góc ABH).


• Góc DBH = góc ABH (cùng là góc nhọn).


• Góc BHD = góc BAK (cùng là góc nhọn).

Vậy tam giác DBH đồng dạng với tam giác BKA theo điều kiện góc.

b) Ta có:

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: HA = AC * cos(BAC) và BK = AB * cos(BAC).


• Vậy HA * BK = AC * AB * cos^2(BAC).


• Do đó, ta cần chứng minh cos^2(BAC) = 1.

Ta có: cos(BAC) = sin(BHK) = sin(BAK) = cos(BAC).

Vậy cos^2(BAC) = 1.

c) Ta có:

• Trong tam giác AKD vuông tại K, ta có: KD = AK * cos(KAD).


• Trong tam giác AKM vuông tại K, ta có: KM = AK * cos(KAM).


• Do đó, cần chứng minh cos(KAD) = cos(KAM).

Ta có: cos(KAD) = sin(KAB) = cos(KAM).

Vậy KM = KD.