Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H

Ta có:
a) Do BD là đường cao của tam giác ABC nên tam giác ABD vuông tại B.
Tương tự, tam giác ACD vuông tại C.
Do đó, ta có:
∠ABD = 90° và ∠ACD = 90°
=> ∠ABD = ∠ACD
=> Tam giác ABD ~ tam giác ACD (cùng có góc vuông và góc nhọn bằng nhau)
=> Tam giác BEH ~ tam giác CDH (theo định lí góc - góc)

b) Ta có:
∠EDH = 180° - ∠BDH = 180° - ∠CBH = ∠CBH
=> ∠EDH = ∠CBH
=> Tam giác DEH ~ tam giác CBH (có 2 góc bằng nhau)
=> Góc EDH = Góc BCH

c) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
=> BC^2 = (BE + EC)^2 + (CD + DB)^2
=> BC^2 = BE^2 + 2.BE.EC + EC^2 + CD^2 + 2.CD.DB + DB^2
=> BC^2 = BE^2 + CD^2 + 2.BE.EC + 2.CD.DB
=> BC^2 = BE^2 + CD^2 + 2(BE.EC + CD.DB)
=> BC^2 = BE^2 + CD^2 + 2(BE.CA + CD.BA)
=> BC^2 = BE^2 + CD^2 + 2(BE.BA + CD.CA)
=> BC^2 = BE^2 + CD^2 + 2.BE.BA + 2.CD.CA
=> BC^2 = BE^2 + 2.BE.BA + CD^2 + 2.CD.CA
=> BC^2 = (BE + BA)^2 + (CD + CA)^2
=> BC^2 = BA^2 + CA^2
=> BE.BA + CD.CA = BC^2

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.