Cho tam giác MNP nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ 2 đường cao ME và NF cắt nhau tại H

a)
- Ta có MF là đường cao của tam giác MNP nên MF vuông góc với NP tại N.
- Ta cũng có NE là đường cao của tam giác MNP nên NE vuông góc với MP tại M.
- Do đó, tứ giác MFEN là tứ giác nội tiếp.
- Tương tự, ta có PF vuông góc với NP tại N và PH vuông góc với MP tại M.
- Vậy tứ giác PFHE cũng là tứ giác nội tiếp.

b)
- Gọi I là giao điểm của EF và PN.
- Ta có tứ giác PFHE nội tiếp nên góc PFH = góc PEH.
- Ta có tứ giác MFEN nội tiếp nên góc MEN = góc MFE.
- Do đó, góc PFH = góc PEH = góc MEN = góc MFE.
- Nhưng góc MEN = góc MFE = góc PNE (do PN song song với ME).
- Vậy góc PFH = góc PNE.
- Nhưng góc PFH = góc PFO (do PF là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy góc PFO = góc PNE.
- Do đó, tam giác PEF đồng dạng tam giác PNO.
- Vậy PEF = xPN.

c)
- Ta có góc PFH = góc PEH (tứ giác PFHE nội tiếp).
- Nhưng góc PFH = góc PFO (PF là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy góc PFO = góc PEH.
- Nhưng góc PFO = góc PNO (do tam giác PEF đồng dạng tam giác PNO).
- Vậy góc PNO = góc PEH.
- Nhưng góc PEH = góc PEN (do NE là đường cao của tam giác MNP).
- Vậy góc PNO = góc PEN.
- Do đó, đường thẳng OP vuông góc với EF.