a) Ta có:
$\angle AHE = 90^{\circ} - \angle HAE = \angle BAH$ (cùng chóc)
$\angle AEH = 90^{\circ} - \angle AHE = \angle AHB$ (cùng chóc)
Vậy tam giác AEH đồng dạng với tam giác AHB.

b) Do tam giác AEH đồng dạng với tam giác AHB, ta có:
$\frac{AH}{AB} = \frac{AE}{AH}$
$\Rightarrow AH^2 = AE \cdot AB$

c) Ta có:
$\angle AHC = 90^{\circ} - \angle HAC = \angle BAF$ (cùng chóc)
$\angle ACH = 90^{\circ} - \angle AHC = \angle AFC$ (cùng chóc)
Vậy tam giác AHC đồng dạng với tam giác AFC.
Do đó, ta có:
$\frac{AH}{AC} = \frac{AF}{AH}$
$\Rightarrow AH^2 = AF \cdot AC$

d) Tương tự như c) ta có:
$\angle ACF = 90^{\circ} - \angle AFC = \angle HF$
$\angle AFC = 90^{\circ} - \angle ACF = \angle CFH$
Vậy tam giác AFC đồng dạng với tam giác CFH.
Do đó, ta có:
$\frac{HF}{CF} = \frac{AF}{HF}$
$\Rightarrow HF^2 = AF \cdot CF$