Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AK của (O)

1) Ta có:
$\angle AHE = 90^\circ$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)
$\angle ACE = 90^\circ$ (do AE vuông góc với AC)
$\Rightarrow$ Tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp.

2) Ta có:
$\angle AHE = 90^\circ$ và $\angle AKE = 90^\circ$ (do AK là đường kính của đường tròn (O))
$\Rightarrow$ HE // BK (do cùng vuông góc với AK)
$\angle AHE = \angle ABC$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
$\angle ABC = \angle ACB$ (vì tam giác ABC là tam giác nhọn)
$\Rightarrow$ AB // HE
Do đó, ta có HE // BK và AB.

Ta có $\angle AHE = \angle ABC$ và $\angle ACE = \angle ACB$
$\Rightarrow$ $\triangle AHE \sim \triangle ABC$
$\Rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AC}$
$\Rightarrow AE = AC \cdot \frac{AH}{AB}$
$\Rightarrow AE = AC \cdot \frac{AC}{AB}$
$\Rightarrow AE = AC^2 / AB$
$\Rightarrow AE = AC \cdot AH$
$\Rightarrow$ AE = AC. AH

3) Ta có M là trung điểm của BC nên BM = MC.
$\angle AFB = 90^\circ$ (do BF vuông góc với AK)
$\angle AHB = 90^\circ$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)
$\Rightarrow$ A, F, H, B cùng thuộc một đường tròn (đường tròn (AHBF))
$\angle AHE = \angle ABC$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
$\angle AFE = \angle ABC$ (cùng chắn cung AF trên đường tròn (AHBF))
$\Rightarrow$ $\angle AHE = \angle AFE$
$\Rightarrow$ M là tâm đường tròn ngoại tiếp AHEF.