a) Ta có tam giác MNP vuông tại M, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
MN² = MP² + NP²
8² = 6² + NP²
64 = 36 + NP²
NP² = 28
NP = √28 = 2√7 cm
Vì NK là trung tuyến của tam giác MNP, nên NK = 1/2 NP = 1/2 * 2√7 = √7 cm
Ta có phân giác của góc NKM cắt MN tại H, nên theo định lý phân giác, ta có:
NH/NM = KH/KM
NH/8 = KH/√7
NH = 8 * KH/√7
c) Gọi O là giao điểm của NK và HE. Ta cần chứng minh O là trung điểm của HE.
Ta có:
NK trên HM = NH + NK = 8 * KH/√7 + √7
NE trên EP = EP - NE = 6 * KP/√7 - √7
Để chứng minh O là trung điểm của HE, ta cần chứng minh:
NK trên HM = NE trên EP
Thay giá trị của NK trên HM và NE trên EP vào phương trình trên, ta có:
8 * KH/√7 + √7 = 6 * KP/√7 - √7
Nhân cả hai vế của phương trình trên với √7, ta có:
8 * KH + 7 = 6 * KP - 7
8 * KH = 6 * KP - 14
4 *KH = 3 * KP - 7
Tương tự, ta có:
4 * KH = 3 * KP - 7
Vậy, ta đã chứng minh được O là trung điểm của HE.