Cho đường tròn (O) có đường kính AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B

Để chứng minh FC = FQ, ta sẽ sử dụng các bước sau:

Gọi G là giao điểm của CF và IQ.

Ta có:
- Góc AIE = 90 độ (do AI là đường phân giác của góc A và IE vuông góc với AI)
- Góc CIE = 90 độ (do CI là đường phân giác của góc C và IE vuông góc với CI)

Do đó, AIEC là tứ giác nội tiếp.

Khi đó, ta có:
- Góc AIE = Góc ACE (cùng nằm trên cùng cung AC)
- Góc CIE = Góc AEC (cùng nằm trên cùng cung AC)

Vậy, ta có tứ giác AIEC là tứ giác điều hòa.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IPC và đường thẳng FQG, ta có:
IPC và FQG cùng song song với CE
=> IPC và FQG cùng song song với AE
=> IPC và FQG cùng song song với AI

Do đó, ta có tứ giác IPCF là tứ giác điều hòa.

Vậy, ta có FC = FQ.