Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các độ dài trong tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
AC = 6 cm
Góc ACB = 30 độ
Ta có thể tính được AB và BC bằng cách sử dụng các tỉ lệ trong tam giác vuông:
AB/AC = cos(30°) = √3/2
⇒ AB = AC * √3/2 = 6 * √3/2 = 3√3 cm
BC/AC = sin(30°) = 1/2
⇒ BC = AC * 1/2 = 6 * 1/2 = 3 cm

Bước 2: Xác định các độ dài trong tam giác AHC.
Vì HD = HB nên tam giác HDB là tam giác đều.
Do đó, ta có:
HD = HB = BD = BC = 3 cm
Vì tam giác AHC vuông tại A nên ta có:
AH = √(AC^2 - HC^2) = √(6^2 - 3^2) = √27 cm = 3√3 cm

Bước 3: Xác định diện tích giới hạn bởi đoạn thẳng AC, CH và cung nhỏ AC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC.
Để tính diện tích giới hạn này, ta cần tính diện tích tam giác AHC và diện tích hình vuông AHCD, sau đó trừ diện tích hình vuông này ra diện tích tam giác AHC.
Diện tích tam giác AHC:
S_AHC = 1/2 * AH * AC = 1/2 * 3√3 * 6 = 9√3 cm^2
Diện tích hình vuông AHCD:
S_AHCD = AD^2 = AC^2 = 6^2 = 36 cm^2
Vậy diện tích giới hạn cần tìm là:
S = S_AHC - S_AHCD = 9√3 - 36 = 9(√3 - 4) cm^2

Vậy diện tích giới hạn bởi đoạn thẳng AC, CH và cung nhỏ AC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC là 9(√3 - 4) cm^2.