Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học và tính chất của tam giác đồng dạng.

a, Ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC, do đó ta có:
\(\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{HA}\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC, suy ra AH là đường cao của tam giác HAC.

b, Ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC, nên ta có:
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{HC}\)
\(BH = \frac{AB \cdot HC}{AC}\)

Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
\(\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}\)
\(BM = \frac{AB \cdot MC}{AC}\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\(BM = BH\)
\(\frac{AB \cdot MC}{AC} = \frac{AB \cdot HC}{AC}\)
\(MC = HC\)

Do đó, ta có tam giác ABC cũng đồng dạng với tam giác HMC, từ đó suy ra tam giác HMC cũng đồng dạng với tam giác HAB.

Theo định lí phân giác trong tam giác, ta có:
\(\frac{BE}{EC} = \frac{BH}{HC}\)
\(BE = \frac{BH \cdot EC}{HC}\)

Gọi K là điểm cắt giữa BE và AH, ta có:
\(\frac{BK}{KH} = \frac{BE}{EC}\)
\(BK = \frac{BE \cdot KH}{EC}\)

Do tam giác HMC đồng dạng với tam giác HAB, ta có:
\(\frac{BK}{KH} = \frac{BH}{HA}\)
\(BK = \frac{BH \cdot KH}{HA}\)

Từ hai công thức trên, ta có:
\(\frac{BE \cdot KH}{EC} = \frac{BH \cdot KH}{HA}\)
\(BE \cdot HA = BH \cdot EC\)

c, Gọi D là điểm cắt giữa CD và BE, ta có:
\(\frac{ID}{AD} = \frac{IE}{EC}\)
\(ID = \frac{AD \cdot IE}{EC}\)

Ta có:
\(\frac{AI}{AB} = \frac{AD}{AC}\)
\(AI = \frac{AB \cdot AD}{AC}\)

Từ hai công thức trên, ta có:
\(AI \cdot AC = AB \cdot AD\)

Đặt x = AI, y = AD, z = ID, ta có:
\(x \cdot AC = AB \cdot y\)
\(2y \cdot z = 2y \cdot z - x^2\)

Từ hai công thức trên, ta có:
\(x \cdot AB = 2y \cdot z - x^2\)

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.