a) Chứng minh ΔAHM đồng dạng ΔACH:
Ta có:
- Trong tam giác AHM vuông tại H, ta có: AH^2 = AM * AB (theo định lý Pythagore)
- Trong tam giác ACH vuông tại H, ta có: AH^2 = AC * HN (theo định lý Pythagore)

Do đó, ta có: AM * AB = AC * HN
=> ΔAHM đồng dạng ΔACH theo định lý đồng dạng tam giác.

b) Chứng minh AH^2 = AM * AB và tính AM:
Từ phần a), ta có: AH^2 = AM * AB
Thay giá trị: AH = 12cm, AB = 15cm vào phương trình trên, ta tính được AM:
12^2 = AM * 15
=> AM = 12^2 / 15 = 9.6 cm

c) Tính MN:
Vì ΔAHM đồng dạng ΔACH, nên ta có tỉ số đồng dạng:
AH/AC = AM/AC
12/13 = 9.6/15
=> MN = AC - AM = 13 - 9.6 = 3.4 cm

Vậy, AM = 9.6 cm và MN = 3.4 cm..