Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB

Để chứng minh phần a:

Ta có:
- Tam giác OAN vuông tại A (OA vuông góc AN)
- Tam giác ONM vuông tại N (NM là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại N)
- Tam giác OMB vuông tại B (OB vuông góc BM)

Do đó, ta có:
∠OAN = ∠ONM (cùng bằng 90 độ)
∠ONM = ∠OMB (cùng bằng 90 độ)

Vậy ta có: ∠OAN = ∠OMB

Do đó, tứ giác ACNM nội tiếp đường tròn.

Tiếp theo, ta có:
∠CMD = 90 độ (do CM vuông góc với MD)
∠CMA = ∠CNA (cùng bằng ∠OAN)
∠CNA = ∠CBA (cùng bằng ∠ONB)
∠CBA = ∠CDA (cùng bằng ∠OMB)

Vậy ta có: ∠CMD = ∠CDA

Do đó, tam giác CMD vuông.

Để chứng minh phần b:

Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM.

Ta có:
∠CMA = ∠CNA (cùng bằng ∠OAN)
∠CNA = ∠CBA (cùng bằng ∠ONB)
∠CBA = ∠CDA (cùng bằng ∠OMB)

Vậy ta có: ∠CMA = ∠CDA

Do đó, ta có tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.

Tương tự, ta có tứ giác BCND nội tiếp đường tròn.

Áp dụng định lý góc nội tiếp, ta có:
∠IKM = ∠CDA = ∠CBA = ∠KBN

Vậy ta có IK // AB.