Cho AABC nhọn nội tiếp trong đường tròn(O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Ta có:
\(\angle BHC = 180^\circ - \angle A\) (do \(ABHC\) nội tiếp) và \(\angle BFC = 180^\circ - \angle B\) (do \(ABFC\) nội tiếp).
Do đó, \(\angle BHC + \angle BFC = 180^\circ - \angle A + 180^\circ - \angle B = 360^\circ - \angle A - \angle B = \angle C\).
Vậy ta có \(BHC\) và \(BFC\) cùng chứa một góc nên \(BHFC\) nội tiếp.
Tương tự, ta cũng chứng minh được \(BHED\) nội tiếp.
Do đó, tứ giác \(BEDC\) nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle BDF = \angle BCF = \angle BCA = \angle BDA\).
Do đó, tứ giác \(ABDF\) nội tiếp.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác \(ABDF\), ta có:
\(DA.DF = AB.BD + AF.BD = DB.(AB + AF) = DB.DC\).
Vậy ta đã chứng minh được \(DA.DF = DB.DC\).