a) Ta có:
$\angle AHC = 90^\circ - \angle BAC = \angle ABC$
$\angle ACH = 90^\circ - \angle ABC = \angle ACB$
Vậy tam giác AHC đồng dạng tam giác ABC.
Từ đồng dạng tam giác ta có:
$\frac{AC}{AH} = \frac{AH}{AB}$
$\Rightarrow AC^2 = AH.BC$

b) Ta có:
$\angle AHC = \angle ABC = \angle BHA$
$\angle ACH = \angle ACB = \angle BAH$
Vậy tam giác AHC đồng dạng tam giác BHA.
Từ đồng dạng tam giác ta có:
$\frac{AH}{BH} = \frac{AC}{BC}$
$\Rightarrow AH = \frac{AC.BH}{BC} = \frac{3.12}{BC} = \frac{36}{BC}$

c) Ta có:
$\angle CHM = \angle CAM = \angle BAH$
$\angle CMH = \angle CBA = \angle CAH$
Vậy tam giác CHM đồng dạng tam giác BAH.
Từ đồng dạng tam giác ta có:
$\frac{CH}{AH} = \frac{CM}{AM}$
$\Rightarrow CH.CB = AH.AD$

Tương tự, ta cũng chứng minh được tam giác DFH đồng dạng tam giác DAB.