a/ Ta có:
$\angle AEF = \angle ACF = \angle ABF = \angle AHF$
$\angle AFE = \angle ACE = \angle ABH = \angle AFH$
Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b/ Ta có:
$\angle CME = \angle CMA = \angle CBA = \angle EBM$
Vậy $CM$ là phân giác của góc $EBM$.

c/ Ta có:
$\angle EIB = \angle EAB = \angle ECB$
Vậy $IE$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCE$.

d/ Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Ta có:
$DE + EF + FD = (DG + GE) + EF + (FG + GD) = DG + GE + FG = DE + FG \leq DF + EG = DG + GE + FG = DG + GF = DF$
Do đó, để tổng $DE + EF + FD$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần $G$ trùng với $D$.
Khi đó, $EF$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $OA \perp EF$.
Vị trí của điểm $A$ để tổng $DE + EF + FD$ đạt giá trị lớn nhất là khi $A$ trùng với $B$ hoặc $C$.