1.Ta có AB là đường kính của (O)→AC⊥BC

→^KHB=^KCB=90o

→BHKC nội tiếp đường tròn đường kính BK

2.Ta có AB là đường kính của (O)→MA⊥MB

Mà MH⊥AB

→AM2=AH⋅AB

Xét ΔAHK,ΔABC có:

Chung ˆA

^AHK=^ACB(=90o)

→ΔAHK∼ΔACB(g.g)

→AHAC=AKAB

→AH⋅AB=AK⋅AC

→AK⋅AC=AM2

3.Xét ΔAIE,ΔACB có:

Chung ˆA

^AIE=^ACB(=90o)

→ΔAIE∼ΔACB(g.g)

→AIAC=AEAB

→AE⋅AC=AI⋅AB

Vì AB là đường kính của (O)→MB⊥AM

Xét ΔBIE,ΔBMA có:

Chung ˆB

^BIE=^BMA(=90o)

→ΔBIE∼ΔBMA(g.g)

→BIBM=BEBA

→BI⋅BA=BE⋅BM

→AE⋅AC+BE⋅BM=AI⋅AB+BI⋅AB=(AI+BI)⋅AB=AB⋅AB=AB2 không đổi khi M di chuyển trên cung AC

4.Ta có:

^AME=^AIE=90o→AMEI nội tiếp

→^EMI=^EAI=^CAB=^CMB

→MB là phân giác ^CMI

→^COB=2^CAB=2^EAI=2^EMI=^CMI

→COIM nội tiếp

→Đường tròn ngoại tiếp ΔMIC đi qua C,O cố định