Thu gọn và sắp xếp đa thức A(x) theo lũy thừa giảm dần của biến, tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức

a) Đa thức A(x) sau khi thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là:
A(x) = 3x² - 4x³ + 4x² - x² + 2x + 5 - 5x²
= -4x³ + 6x² + 2x + 5

Hệ số cao nhất của đa thức A(x) là -4 và hệ số tự do là 5.

b) Tính C(x) = A(x) + B(x):
C(x) = (-4x³ + 6x² + 2x + 5) + (5 + x⁴)
= x⁴ - 4x³ + 6x² + 2x + 10

Tính D(x) = A(x) - B(x):
D(x) = (-4x³ + 6x² + 2x + 5) - (5 + x⁴)
= -x⁴ - 4x³ + 6x² + 2x

c) Đa thức G(x) = B(x).(2x-1) = (5+x⁴).(2x-1)
= 10x - 5 + 2x⁵ - x⁴

Để tìm nghiệm của đa thức G(x), giải phương trình G(x) = 0:
10x - 5 + 2x⁵ - x⁴ = 0
=> 2x⁵ - x⁴ + 10x - 5 = 0

d) Để tìm thương Q(x) và số dư R(x) khi chia đa thức A(x) cho đa thức (x²+1), ta thực hiện phép chia đa thức A(x) cho (x²+1):
A(x) = (3x² - 4x(x²-x) + x² - 2x + 5(1-x²)) : (x²+1)
= (3x² - 4x³ + 4x² - x² + 2x + 5 - 5x²) : (x²+1)
= -4x + 6

Vậy thương Q(x) = -4x + 6 và số dư R(x) = 0.