Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. Từ phương trình 2a^2 = 3b^3 + 530, ta thấy rằng a và b phải là các số tự nhiên.
Đặt a = x, b = y, ta có phương trình: 2x^2 = 3y^3 + 530.

2. Ta có thể thử các giá trị của x để tìm giá trị tương ứng của y.
Dùng vòng lặp từ 1 đến 100, ta thấy rằng khi x = 7, thì y = 5.

3. Thay a = 7, b = 5 vào phương trình thứ 2: (a+1)(a+2) = 9^c + 419.
Ta được: (7+1)(7+2) = 9^c + 419
8 * 9 = 9^c + 419
72 = 9^c + 419
9^c = -347.

4. Không có giá trị nào của c làm cho 9^c = -347, vì vậy không tồn tại bộ số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời 2 phương trình trên.

Vậy không tồn tại bộ số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời 2 phương trình đã cho.