a, Ta có:
\[\angle BIC = \angle BOC = 90^\circ\]
Vậy tứ giác BIHK nội tiếp.

b, Ta có:
\[\angle AKH = \angle AKI + \angle IKH = \angle AIO + \angle ICB = \angle ABO + \angle ICB = \angle ABC\]
Vậy \(AH.AK\) có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm \(K\).

c, Ta có:
\[\angle MND = \angle MNC + \angle DNC = \angle MBC + \angle DAC = \angle MBC + \angle DAB = \angle MBC + \angle CBA = \angle MBC + \angle MCB = 90^\circ\]
Vậy \(MN, AB, CD\) đồng quy.

d, Ta có:
\[BC = 25 \text{ cm}\]
Vậy bán kính đáy của hình trụ là \(BC/2 = 12.5 \text{ cm}\).
Diện tích xung quanh hình trụ là:
\[S = 2\pi r h = 2\pi \times 12.5 \times 25 = 1250\pi \text{ cm}^2\]