Giải:

a) Ta có:

• Trong tam giác ABC, ta có hai góc nhọn A và C nên góc B cũng là góc nhọn.


• Góc ABD và góc ACE là hai góc vuông với cùng một cạnh BD và CE.

Vậy theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có ΔABD∽ΔACE.

b) Ta có:

• Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có: \(AB^2 = AD^2 + BD^2 \Rightarrow BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}\) cm.


• Tương tự, trong tam giác vuông ACE, ta có: \(AC^2 = AE^2 + CE^2 \Rightarrow CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - AE^2}\) cm.

Do đó, ta có: \(BD \cdot CE = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5^2 - AE^2} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{25 - AE^2} = 30 - 2AE^2\).

Do ΔABD∽ΔACE nên ta có: \(\frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{25 - AE^2}} = \frac{4}{5} \Rightarrow 10\sqrt{3} = 4\sqrt{25 - AE^2} \Rightarrow 75 = 16(25 - AE^2) \Rightarrow AE = 3\) cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng AE là 3 cm.

c) Ta có:

• Do ΔABD∽ΔACE nên ta có: \(\frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{BD}{CE} = \frac{4}{5}\).


• Do đó, ta có: \(\frac{BD}{CE} = \frac{DH}{CH} \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{25 - AE^2}} = \frac{DH}{CH} \Rightarrow DH = \frac{2\sqrt{3} \cdot CH}{\sqrt{25 - AE^2}}\).

Do \(ˆEDH=ˆBCH\) nên ta có: \(\frac{DH}{CH} = \frac{CE}{BD} \Rightarrow \frac{2\sqrt{3} \cdot CH}{\sqrt{25 - AE^2}} = \frac{\sqrt{5^2 - AE^2}}{2\sqrt{3}} \Rightarrow CH = \frac{5}{2}\) cm.

Vậy ta đã chứng minh được \(ˆEDH=ˆBCH\).