Để A là số nguyên, ta cần tìm số nguyên x sao cho x² + x + 1 chia hết cho x + 2.

Ta có thể chia đa thức x² + x + 1 cho x + 2 bằng cách sử dụng phép chia đa thức thông thường:

x + 2 | x² + x + 1
- (x² + 2x)
___________
-x + 1

Vậy x² + x + 1 = (x + 2)(x - 1) + 3

Để A là số nguyên, ta cần x - 1 chia hết cho x + 2, tức là phải có thể viết x - 1 dưới dạng (x + 2)k với k là số nguyên.

x - 1 = (x + 2)k
x - 1 = xk + 2k
x - xk = 2k + 1
x(1 - k) = 2k + 1
x = (2k + 1)/(1 - k)

Để x là số nguyên, ta cần 2k + 1 chia hết cho 1 - k. Ta thử với một số giá trị của k:

- Khi k = 0: x = 1, A = 1² + 1 + 1 = 3 (không phải số nguyên)
- Khi k = 1: x = 3, A = 3² + 3 + 1 = 13 (không phải số nguyên)
- Khi k = -1: x = -1, A = (-1)² - 1 + 1 = 1 (là số nguyên)

Vậy số nguyên x để A là số nguyên là x = -1.