Cho tam giác abc, lấy m là điểm bất kỳ trên bc

Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate [label=below right:$B$] (B) at (4,0);
\coordinate [label=above:$C$] (C) at (2,3);
\coordinate [label=below:$M$] (M) at (3,0);
\coordinate [label=above:$I$] (I) at (1.5,1.5);
\coordinate [label=below:$K$] (K) at (1,0);
\coordinate [label=below:$E$] (E) at (0.5,0);
\coordinate [label=above:$N$] (N) at (2.5,1.5);
\coordinate [label=above:$J$] (J) at (1.5,0);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (M);
\draw (I) -- (K);
\draw (C) -- (N);
\draw (C) -- (I);
\draw (C) -- (E);
\draw (C) -- (J);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có \(IK\) song song với \(AB\), do đó \(\frac{IK}{AB} = \frac{IM}{AM} = \frac{1}{2}\).

b) Ta có \(\frac{BI}{BN} = \frac{CI}{CE} = \frac{1}{2}\) (do \(I\) là trung điểm của \(AM\)).

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng đi qua \(N\), \(I\), \(K\), ta có:

\[
\frac{BI}{BN} \cdot \frac{NC}{CA} \cdot \frac{AI}{IK} = 1
\]

Thay giá trị đã biết vào, ta có:

\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{CN}{CA} \cdot 2 = 1
\]

\[
CN = CA
\]

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng đi qua \(C\), \(I\), \(E\), ta cũng sẽ có \(CE = CA\).

Do đó, ta có:

\[
\frac{BI}{BN} + \frac{CI}{CE} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{BI}{BN} + \frac{CI}{CE} = \frac{3}{2}\).