a) Ta có:
$AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = BC^2$
Vậy theo định lý Pythagore, $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại A. Các góc của tam giác $\Delta ABC$ thỏa mãn:
$\angle A = 90^\circ, \angle B = \sin^{-1}(\frac{12}{15}) \approx 53.13^\circ, \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 36.87^\circ$

b) Ta có $AB = AD$, và $\angle A = \angle D = 90^\circ$, nên tam giác $ABD$ là tam giác vuông cân tại $D$. Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật.

c) Ta có $K$ là trung điểm của $BC$, nên $DK$ là đường trung bỉnh của tam giác $\Delta ABC$, nên $DK$ cắt $AC$ tại $M$ sao cho $AM = MC$. Vậy $CM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

d) Gọi $N$ là trung điểm của $AC$. Ta có $AN = NC$, và $1$ là giao điểm của $DC$ và đường thẳng vuông góc với $AC$ đi qua $N$. Vậy $BM$ là đường trung bỉnh của tam giác $\Delta ADC$, nên $B, M, 1$ thẳng hàng.