Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Dây CD vuông góc với AB tại điểm H, điểm M di động trên đoạn thẳng CD, tia AM cắt đường tròn tâm O tại N

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Tứ giác nội tiếp: Một tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn có nghĩa là tồn tại một đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

2. Định lí hình học về góc nội tiếp: Góc ở tâm bằng một nửa góc ở ngoài tâm.

3. Định lí hình học về góc nội tiếp: Góc ở tâm bằng góc chắn bởi cùng một cung.

a) Ta có:
- Góc MNB = 90 độ (do CD vuông góc với AB tại H).
- Góc MHB = 90 độ (do CD vuông góc với AB tại H).
- Góc MNB = Góc MHB = 90 độ => Tứ giác MNBH nội tiếp.

b) Ta có:
- Góc MCD = Góc MAD (cùng chắn cung MD trên đường tròn).
- Góc MCD = Góc MND (cùng chắn cung MD trên đường tròn).
- Góc MAD = Góc MND => Tam giác MAD đồng dạng với tam giác MND.
- Từ đồng dạng ta có: MC/MA = MD/MN => MC.MN = MA.MD.
- Tích AM.AN không đổi vì AM và AN là đường tiếp tuyến từ điểm A đến đường tròn tâm O.

c) Ta có:
- Góc ACN = Góc AMN (cùng chắn cung AN trên đường tròn).
- Góc ACN = Góc MCN (do AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN).
- Góc AMN = Góc MCN => Tam giác ACN đồng dạng với tam giác MCN.
- Do đó, AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, c.