Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn AB>AC nội tiếp đường tròn (O;R) hai đường cao AD và BE = H

Để chứng minh các phần a, b, c ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Tam giác vuông có đường cao chia tam giác thành 2 tam giác vuông tương tự.
2. Đường phân giác trong tam giác chia cạnh đối diện thành 2 đoạn có tỉ lệ bằng tỉ lệ 2 cạnh gần với nó.
3. Đường phân giác trong tam giác vuông cũng là đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.
4. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến bằng 1/2 đường cao.

a) Ta có tam giác AEK và BMK là tam giác vuông tại E và F, do đó AE và BM là đường cao của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AE cắt BM tại H, nên tứ giác AEKH là hình chữ nhật. Tương tự, ta có tứ giác BMKF cũng là hình chữ nhật.

b) Ta có CN là đường cao của tam giác ABC, nên theo định lí 1, ta có SN/SB = CN/BC và SM/SC = CN/BC. Từ đó, ta có SN*SM = SB*SC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEKH. Ta có AI song song với HK (do AEKH là hình chữ nhật), từ đó ta có SI vuông góc với OI (do AI vuông góc với OI và AI song song với HK).

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c.