Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Từ B, C kẻ lần lượt BD, CE vuông góc với AM tại D, E chứng minh:

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học Euclid.

a, Ta có M là trung điểm của BC nên BM = MC.
Gọi x = BM = MC.
Vì BD vuông góc với AM nên tam giác ABD vuông tại D.
Theo định lí Pythagore, ta có: AD^2 + BD^2 = AB^2
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB^2 = AC^2 + BC^2
Vì M là trung điểm của BC nên BC = 2BM = 2x
Vậy AB^2 = AC^2 + 4x^2
Vì tam giác ABD vuông tại D nên AD = AB - BD = AC - CE
Vậy AD^2 = AC^2 - 2AC*CE + CE^2
Vậy ta có: AC^2 + 4x^2 = AC^2 - 2AC*CE + CE^2
=> 4x^2 = -2AC*CE + CE^2
=> 4x^2 = CE(CE - 2AC)
=> CE = BD

b, Ta có tam giác KBC cân tại K nếu và chỉ nếu BK = KC.
Gọi H là hình chiếu từ K xuống BC.
Ta có tam giác KAM và tam giác KHC đồng dạng với nhau (cùng có góc vuông tại A và H, cùng có góc tại K).
Vậy ta có: KH/KA = KC/KH
=> KH^2 = KA*KC
Vậy tam giác KBC cân tại K.

c, Ta có BK = KC (do tam giác KBC cân)
Vậy BK = KC < AC.