Giải:

a) Ta có ∠BAC = 90° (vuông tại A) và ∠BHA = 90° (đường cao trong tam giác vuông). Do đó, ∆ABC đồng dạng với ∆HBA theo góc vuông - góc vuông.

Áp dụng định lí đồng dạng ta có:

\[\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{HA} \Rightarrow \frac{9}{HB} = \frac{12}{HA} \Rightarrow HA = \frac{12}{9} \times HB = \frac{4}{3} \times HB\]

Với AB = 9cm, AC = 12cm, ta tính được AH = 4cm.

b) Ta có ∠HAB = ∠HBA (cùng là góc vuông), nên ∆HAB vuông tại H.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông, ta có:

\[AH^2 = HB^2 + AB^2 \Rightarrow (4)^2 = HB^2 + (9)^2 \Rightarrow HB^2 = 7\]

Tương tự, ta có \(HC^2 = 12^2 - 7 = 137\).

Do đó, \(AH^2 = HB \times HC\).

c) Gọi I là giao điểm của phân giác của góc ABC và AH.

Áp dụng định lí phân giác ta có:

\[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\]

Áp dụng định lí phân giác ta có:

\[\frac{HF}{FB} = \frac{HA}{AB} = \frac{4}{9}\]

Do đó, tỉ số diện tích của ∆ABE và ∆HBF là:

\[\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle HBF}} = \frac{AE}{EC} \times \frac{HF}{FB} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{3}\]

Vậy tỉ số diện tích của ∆ABE và ∆HBF là 1:3.