Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Điểm E thuộc đoạn OC. Tia AE cắt nửa đường tròn tâm O tại M

a) Ta có:
$\angle OME = \angle OAE$ (cùng chắn cung AM trên đường tròn (O))
$\angle OBE = \angle OAE$ (cùng chắn cung AM trên đường tròn (O))
$\Rightarrow \angle OME = \angle OBE$
$\Rightarrow$ tứ giác OEMB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle OBM = \angle OAM$ (cùng chắn cung AM trên đường tròn (O))
$\angle OBM = \angle OAK$ (hai đường thẳng AB và KC cắt nhau tại O)
$\Rightarrow \angle OAM = \angle OAK$
$\Rightarrow$ tứ giác OAKM là tứ giác nội tiếp.
Do đó, theo định lí Ptolemy:
$MA \cdot OK = OA \cdot MK + AM \cdot KO$
$3MB \cdot OK = OA \cdot MK + 3MB \cdot KO$
$3MB \cdot OK = OA \cdot MK + OA \cdot KO$
$3MB = MK + KO$
$2MB = MK$
Vậy vị trí của điểm E để MA = 3MB khi E di chuyển trên đoạn OC là khi E là trung điểm của OC.