Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác CAB và AB^2 = HB.HC

a.
Ta có:
$\angle AHB = \angle CAB$ (cùng nằm trên cùng cạnh AB)
$\angle BAH = \angle BAC$ (vuông góc)
$\Rightarrow \triangle AHB \sim \triangle CAB$ (theo góc - góc)

Do đó, ta có:
$\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{AB}$
$\Rightarrow AB^2 = HB \cdot HC$

b.
Ta có $AB = 36$ và $AC = 48$

Từ phần a, ta có $AB^2 = HB \cdot HC$

$\Rightarrow 36^2 = HB \cdot HC$
$\Rightarrow 1296 = HB \cdot HC$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{48^2 - 36^2} = \sqrt{2304 - 1296} = \sqrt{1008} = 4\sqrt{63}$

c.
Gọi $MN = x$

Ta có $BM + CN = MN$

$\Rightarrow \frac{BM}{BC} + \frac{CN}{BC} = \frac{MN}{BC}$

$\Rightarrow \frac{BM}{BC} + \frac{CN}{BC} = \frac{x}{4\sqrt{63}}$

$\Rightarrow \frac{BM + CN}{BC} = \frac{x}{4\sqrt{63}}$

$\Rightarrow 1 = \frac{x}{4\sqrt{63}}$

$\Rightarrow x = 4\sqrt{63}$

Vậy $MN = 4\sqrt{63}$.