Để chứng minh S không phải là số nguyên, ta cần chứng minh rằng tổng các phân số đó không thể rút gọn thành một phân số có tử số chia hết cho mẫu số.

Ta có thể chia tử số và mẫu số của các phân số trong S cho 31, ta được:

S = 1/31 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/60
= (1/31) + (1/32) + (1/33) + ... + (1/60)
= (1/31) + (31/32*31) + (1/33) + ... + (1/60)
= (1/31) + (1/32) + (1/33) + ... + (1/60)

Vì 31 là số nguyên tố và không chia hết cho các số từ 32 đến 60, nên tử số của các phân số trong S không chia hết cho 31. Do đó, tổng S không thể rút gọn thành một phân số có tử số chia hết cho mẫu số, tức là S không phải là số nguyên.