Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A bằng 60°. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại E. Kẻ EK vuông góc với AB tại K. Chứng minh rằng AC = AK và CK vuông góc AE

a) Ta có góc A = 60°, suy ra góc BAC = 30°. Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.
Khi đó, ta có AC = AB = BC.
Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có góc ACB = 90°.
Do đó, tam giác ACE cũng là tam giác vuông tại C.
Vậy, ta có AC = AE (do tam giác ABC đều) và góc ACE = 90°.
Khi đó, ta có AC = AK và CK vuông góc với AE.

b) Ta có AC = AB = BC và góc A = 60°.
Vậy, ta có tam giác ABC là tam giác đều.
Khi đó, ta có góc BAC = 30° và góc ABC = 60°.
Từ đó, ta có góc EAB = 30° và góc AEB = 60°.
Do đó, tam giác AEB cũng là tam giác đều.
Vậy, ta có AB = AE = EB.
Từ đó, ta có AB = 2AC và EB > AC.

c) Ta đã chứng minh được AC = AK và CK vuông góc với AE.
Ta có góc EAK = 60° và góc EAB = 30°.
Vậy, ta có góc KAB = 30°.
Do đó, tam giác KAB là tam giác đều.
Khi đó, ta có KB = KA = AB = 2AC.
Ta có góc KBD = 90° và góc KAD = 60°.
Vậy, ta có góc KBD = góc KAD.
Do đó, ta có BD // AK.
Từ đó, ta có ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy.