Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại P

a) Ta có ON là đường trung trực của BC vì N là trung điểm của cả hai đoạn thẳng BC.

Ta có \( \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{CN^2} = \frac{1}{16} \)

\( \frac{OB^2 + CN^2}{OB^2 \cdot CN^2} = \frac{1}{16} \)

\( \frac{BC^2}{OB^2 \cdot CN^2} = \frac{1}{16} \)

\( BC^2 = \frac{OB^2 \cdot CN^2}{16} \)

\( BC = \frac{OB \cdot CN}{4} \)

b) Ta có \( \angle BPC = \angle BNC \) (cùng chắn cung NP trên đường tròn (O))

\( \angle BPC = \angle BAC \) (cùng nội tiếp với BC)

Do đó, theo định lí đồng dạng tam giác, ta có \( \frac{BP}{AC} = \frac{CN}{AB} \)

Tương tự, ta cũng có \( \frac{CP}{AB} = \frac{OB}{AC} \)

Do đó, \( \frac{BP}{AC} = \frac{CP}{AB} \)

c) Ta có \( \angle BPC = \angle BNC \) (cùng chắn cung NP trên đường tròn (O))

\( \angle BNC = \angle BAC \) (cùng nội tiếp với BC)

Do đó, theo định lí đồng dạng tam giác, ta có \( \frac{BP}{AC} = \frac{CN}{AB} \)

Vậy ta có BC, ON và AP đồng quy.