a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
18^2 + 24^2 = BC^2
324 + 576 = BC^2
BC = √900 = 30cm

Vậy ta có: AB^2 = 18^2 = 324 và BH.BC = AH.BC = AC^2 = 24^2 = 576
Do đó, AB^2 = BH.BC

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên CD là đường phân giác nên AD = DC
Vậy ta có: AD = DC = AC/2 = 24/2 = 12cm

c) Ta có BA = BG nên tam giác ABG đều, suy ra BG vuông góc với AG
Gọi O là giao điểm của BG và CD, ta có:
- Tam giác ACD vuông tại A, nên theo định lý Euclid, ta có:
AD^2 + CD^2 = AC^2
12^2 + CD^2 = 24^2
144 + CD^2 = 576
CD^2 = 432
CD = √432 = 12√3 cm

- Ta có tam giác BAE vuông tại E, ta có:
BE^2 + AE^2 = AB^2
BE^2 + (AC - EC)^2 = AB^2
BE^2 + (24 - 12√3)^2 = 18^2
BE^2 + 144 - 288√3 + 432 = 324
BE^2 = 288√3 - 252
BE = √(288√3 - 252) cm

- Ta có tam giác BFG vuông tại G, ta cần chứng minh BG vuông góc với FG:
Ta có: BG^2 + FG^2 = BF^2
BA^2 + AF^2 = BF^2
BA^2 + (AH - HF)^2 = BF^2
BA^2 + (AC - EC)^2 = BF^2
18^2 + (24 - 12√3)^2 = BF^2
324 + 144 - 288√3 + 432 = BF^2
BF^2 = 900 - 288√3
BF = √(900 - 288√3) cm

Vậy ta chứng minh được rằng BG vuông góc với FG.