Tìm tất cả tham số m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 1

Để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 1, ta cần giải phương trình và xác định điều kiện cho 2 nghiệm đó.

Phương trình đã cho là: \(x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0\)

Để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 1, ta cần xác định điều kiện cho \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\) và nghiệm của phương trình nhỏ hơn 1.

\(b^2 - 4ac > 0\) tương đương với \((-2m)^2 - 4(1)(m^2 - 1) > 0\)

\(4m^2 - 4m^2 + 4 > 0\)

\(4 > 0\)

Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của m, nên ta không cần xét điều kiện này.

Để nghiệm của phương trình nhỏ hơn 1, ta cần xác định điều kiện cho \(x_1, x_2 < 1\).

Ta có \(x_1 + x_2 = 2m\) và \(x_1 \cdot x_2 = m^2 - 1\)

Điều kiện \(x_1, x_2 < 1\) tương đương với \(x_1 + x_2 < 2\) và \(x_1 \cdot x_2 < 1\)

Thay \(x_1 + x_2 = 2m\) và \(x_1 \cdot x_2 = m^2 - 1\) vào 2 điều kiện trên, ta được:

\(2m < 2\) và \(m^2 - 1 < 1\)

\(m < 1\) và \(m^2 < 2\)

Từ \(m < 1\), ta suy ra \(m^2 < 1\)

Kết hợp với \(m^2 < 2\), ta có \(m^2 < 1\)

Vậy, tất cả các giá trị của m thỏa mãn là \(m \in (-1, 1)\)