Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (AB'C'). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a

Đặt \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\), ta có \(OG\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(OG = \frac{2}{3}h\), với \(h\) là chiều cao của lăng trụ.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'B'\), ta có \(OM\) là đường cao của tam giác \(A'B'C'\), nên \(OM = \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Vì mặt phẳng \((A'BC)\) vuông góc với mặt phẳng \((AB'C')\), nên ta có \(OM \perp OG\), suy ra tam giác \(OMG\) vuông tại \(M\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \(OMG\), ta có:
\[OM^2 + MG^2 = OG^2\]
\[\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 + \left(\frac{2}{3}h\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[\Rightarrow \frac{3}{4}a^2 + \frac{4}{9}h^2 = \frac{1}{4}a^2\]
\[\Rightarrow \frac{4}{9}h^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{3}{4}a^2\]
\[\Rightarrow \frac{4}{9}h^2 = -\frac{1}{2}a^2\]
\[\Rightarrow h^2 = -\frac{9}{8}a^2\]

Vậy thể tích của khối lăng trụ là:
\[V = S_{\text{đáy}} \times h = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \sqrt{-\frac{9}{8}a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}a^3\]

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là \(\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3\).