Cho ∆ABC nhọn có AB < AC. Đường cao AH (H € BC). Qua H kẻ HM vuông góc AB, HN vuông góc AC (M € AB, N € AC)

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học và tính chất của các tam giác đồng dạng.

1. Ta có:
$\angle AMH = \angle AHB$ (do cùng chung với $\angle A$)
$\angle MAH = \angle HAB$ (do cùng chung với $\angle H$)
Vậy $\Delta AMH \sim \Delta AHB$ (theo góc - góc)

Do đó, ta có $\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AM}{AH} \Rightarrow AH^2 = AM \cdot AB$

2. Ta có:
$\angle ANH = \angle AHC$ (do cùng chung với $\angle A$)
$\angle HAN = \angle HCA$ (do cùng chung với $\angle H$)
Vậy $\Delta ANH \sim \Delta AHC$ (theo góc - góc)

Do đó, ta có $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AH}{AC} \Rightarrow AN \cdot AC = AH^2 = AM \cdot AB$

3. Ta có:
$\angle AEF = \angle AED$ (do EF // MN)
$\angle AED = \angle ABC$ (do AD // MN và BD là đường cao của tam giác ABC)
Vậy $\angle AEF = \angle ABC$

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.