Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AF; BD; CE gặp nhau tại H (F∈ BC; D∈ AC; E∈ AB)

a) Ta có:
- Góc AFE = góc ABE = góc ACB (do AE // BC)
- Góc AFC = góc ABC
- Góc AMC = góc ABK = 90 độ (do M là trung điểm của AK)
=> A, E, F, M, C cùng thuộc một đường tròn.
- Ta có: I là trung điểm của BC, FM // BK => I là trung điểm của KM => IM = KM/2 = IN (do N là hình chiếu của B trên AK).

b) Ta đã chứng minh được IM = IN.

c) Để diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm H sao cho đường cao AH càng lớn càng tốt. Khi đó, tam giác DEF sẽ càng lớn. Do đó, vị trí của điểm H cần nằm trên đoạn thẳng AK và cách điểm A càng xa càng tốt.