Chứng minh I M B thẳng hàng

a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác AHD nên M là trung điểm của AD.
Gọi O là giao điểm của BM và AI.
Ta có: $\angle OAB = \angle OBA = \angle IBA = \angle IAB$ (do AI là đường phân giác trong tam giác BAH)
Vậy ta có: $\triangle OAB$ vuông tại O và $\angle OAB = \angle OBA$ nên OA = OB.
Mà M là trung điểm của AD nên AM = MD.
Vậy ta có: $\triangle OAM = \triangle OMD$ nên $\angle OAM = \angle OMD$.
Suy ra: $\angle OAB = \angle OBA = \angle OAM = \angle OMD$ nên B, I, M thẳng hàng.

b) Gọi E là giao điểm của AI và BC.
Ta có: $\angle EAB = \angle EBA = \angle IBA = \angle IAB$ (do AI là đường phân giác trong tam giác BAH)
Vậy ta có: $\triangle EAB$ vuông tại E và $\angle EAB = \angle EBA$ nên EA = EB.
Gọi F là giao điểm của đường thẳng qua I vuông góc với BC và AB.
Ta có: $\angle FIE = 90^\circ$ và $\angle IAB = \angle IBA$ nên $\angle FIE = \angle FEA$.
Vậy ta có: $\triangle FIE = \triangle FEA$ nên FE = FA.
Ta có: $\angle HAE = \angle HAC = \angle CAD = \angle BAD = \angle BAH = \angle IAB$.
Vậy ta có: $\triangle HAE = \triangle IAB$ nên HE = IB.
Suy ra: FE = FA = HE + IB = HE + IB.
Vậy FE = FA + HE.