Cho đường tròn (O; R), dây cung AB không đi qua tâm. Kẻ đường kính CD vuông góc với dây cung AB tại điểm M ( điểm C thuộc cung nhỏ AB ). Trên cung nhỏ BD lấy điểm E. Gọi H là giao điểm của CE và AB

1) Ta có:
$\angle MDE = \angle MDC$ (cùng chắn cung MB)
$\angle MDC = \angle MHC$ (hình thang)
$\angle MHC = \angle MHE$ (cùng chắn cung MC)
$\angle MHE = \angle MDE$ (do MH vuông góc với DE)
Vậy tứ giác MDEH là tứ giác nội tiếp.

2) Ta có:
$\angle ACH = \angle MCH$ (do AC song song với DE)
$\angle MCH = \angle MHE$ (cùng chắn cung MC)
$\angle MHE = \angle MCE$ (do MH vuông góc với DE)
$\angle MCE = \angle ACE$ (do AC song song với DE)
Vậy $\triangle ACH \sim \triangle CEM$ (cân)
Do đó, $\frac{AC}{CE} = \frac{CH}{EM} = 2$.

3) Gọi G là giao điểm của MF và AB. Ta có:
$\angle DFE = \angle MFE$ (do DF song song với ME)
$\angle MFE = \angle MKE$ (do MF song song với BK)
$\angle MKE = \angle MBE$ (cùng chắn cung MK)
$\angle MBE = \angle MDE$ (do MB vuông góc với DE)
Vậy DF vuông góc với AE.
Ta có $\angle DFE = \angle MFE = \angle MKE = \angle MBE = \angle MDE$, nên ba điểm D, E, K thẳng hàng.